Méthode des volumes finis pour problème non
stationnaire
2.5.1 Problème parabolique (Equation(Équation de la chaleur )
Considérons le problème monodimensionnel de la conduction de la chaleur dans une
barre de 1m de longueur. Le champ de température u(x, t) vérifie l’équation de la chaleur:
∂u
∂t = α
∂
2u
∂x2
où α est la diffusivité thermique que l’on supposera égale à 1.
A cette EDP s’ajoutes’ajoutent deux conditions aux limites aux extrémités de la barre u(0, t) = ug
et u(1, t) = ud ainsi qu’une condition initaleinitiale u(x, 0) = u0.
L’intervalle [0, 1] est discrétisé en N mailles de centre xi (i variant de 1 à N), de taille
∆x = xi+1/2 − xi−1/2 constante. Le temps est discrétisé en intervalles de pas constantconstants ∆t.
A chaque instant, la température u(x, t) est supposée constante dans chaque maille et
égale à une valeur approchée de la moyenne sur la maille considérée. On notera u
n
i
n i cette
valeur dans la i-ème maille de centre xi à l’instant tn = n∆t.
La discrétisation spatiale par les volumes finis consiste à intégrer maille par maille l’EDP
du problème, soit pour la i-ème maille:
Z xi+1/2
xi−1/2
∂u
∂t dx =